Ensemble

Collection d’objets (mathématiques ; éléments), la réunion de ces éléments en un tout (régit par des axiomes, des propriétés) . Du latin insimul (en même temps), de in- et simul (à la fois).

Abréviation / Symbole : M
Anglais : Set (mathematics)
Espagnol : Conjunto
Chinois : 集合 (数学) {jíhé (shùxué) – ensemble (mathématiques)}
Russe : Множество (mnozhestvo – beaucoup)

Venn diagram - Cepheus - Wikimedia Commons

Un élément (m) d’un ensemble (M) est dit appartenir (∈) à cet ensemble (théorie des ensembles, approche axiomatique) . Un ensemble désignant un objet du domaine de la théorie des ensembles, dont les axiomes régissent les propriétés . Tout objet mathématique étant un ensemble . La notion d’ensemble est une notion de base qui intervient dans quasiment tous les domaines mathématiques.

Origine : Formulé par le mathématicien Georg Cantor 
Histoire :
La théorie des ensembles est la fondation des mathématiques.


Cf. les fiches-clées :

(appartenir à)
Appartenance (notion)
Axiome (mathématique) – Approche axiomatique 
Ensembles (rubrique)
– Les ensembles de nombres – Théorie des ensembles – Théorie naïve des ensembles
Élément (mathématique) – Élément d’un ensemble
Fondements des mathématiques – Objet (mathématique) – Propriété (mathématique)

(Chercheurs) Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (mathématicien) – Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (mathématicien allemand)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources :

维基百科 – Википедия – Cepheus (Wikimedia Commons) – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileWikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWiktionnaire

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Ensemble des nombres Rationnels

Ensemble de fractions de la forme a/b où numérateur et dénominateur sont des entiers et le dénominateur non nul.

Symbole : ℚ (quotient)
Appelé aussi : Corps des rationnels – Ensemble des rationnels – Borne inférieure de R (ensemble des nombres réels) – Sous-ensemble des nombres réels
Anglais : Set of rational numbers
Espagnol : Conjunto de números racionales
Chinois : 设置有理数 (shèzhì yǒulǐshù) 有理数 (nombre rationnel) 数 (nombre)
Russe : Множество рациональных чисел (mnozhestvo ratsional’nykh chisel) Рациональных чисел (nombres rationnels)

Les nombres rationnels - Allô prof ? - alloprof.biz

Les nombres rationnels peuvent avoir une écriture décimale infinie, mais dans ce cas elle est toujours périodique . Les nombres décimaux (ensemble D) sont des nombres rationnels qui se cachent . L’ensemble des décimaux (y compris entiers naturels, entiers relatifs) est inclus dans Q.

Le corps des nombres rationnels ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure (Ensemble des nombres réels, R) . Par contre on peut plonger Q dans un corps plus grand dans lequel cette propriété est vérifiée (R) . Les nombres rationnels forment ainsi un sous-ensemble des nombres réels (R).

Règles : {x ∈ Q tq x2 < 2}
Formules : Z ⊂ Q (l’ensemble des entiers est inclus dans l’ensemble des rationnels) N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ( ⊂ : appartient à)


Cf. les fiches-clées :

Appartient à ( ⊂ )
Dénominateur – Dénominateur non nul  
Les Ensembles (rubrique)
 – Ensembles des nombres décimaux (D), entiers (Z)entiers naturels (N), entiers relatifs (Z), réels (R)
Fraction
Nombres (rubrique) – Écriture décimale d’un nombre – Écriture décimale périodique d’un nombre – Nombre décimal, entier naturel, entier relatif, irrationnel, rationnel, réel – Les nombres entiers
Numérateur – Quotient

Documentation (liens externes) :

Les nombres rationnels (Q) – Allô prof ?

Sources :

Allô prof – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – Wikiversité

Ensemble des nombres décimaux

Comprend tous les nombres (négatifs ou positifs) s’écrivant avec un nombre fini et non nul de chiffres après la virgule.

Symbole : 𝔻 (décimaux)
Anglais : Sef of decimal numbers
Espagnol : Conjunto de números decimales
Chinois : 所有小数 (suǒyǒu xiǎoshù) 有小数 (fractionnaires)
Russe : Множество десятичных чисел (mnozhestvo desyatichnykh chisel) Десятичных чисел (nombres décimaux)

Nombres décimaux - educastream.com

Les entiers relatifs sont aussi des décimaux (N ⊂ Z ⊂ D).


Cf. les fiches-clées :

Appartient à ( ⊂ )
Décimal – Décimale – Système décimal
Ensemble des entiers relatifs (Z)
Nombre décimal, entier relatif, fini, non nul – Les nombres (rubrique)
Virgule

Sources :

educastream.com – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileLa taverne de l’IrlandaisWikipédiaWikiversité

Ensemble des entiers naturels

Contient tous les chiffres de base (dont zéro) et les nombres positifs avec zéro pour décimale.

Symbole : ℕ (naturel) – N0 (incluant zéro) – N* ou N1 (n’incluant pas zéro)
Appelé aussi : Ensemble des nombres entiers naturels – (…) nombres naturels
Anglais : Set of natural numbers
Espagnol : Conjunto de números naturales
Chinois : 所有自然数 (suǒyǒu zìránshù – tous les nombres naturels)
Russe : Все натуральные числа (vse natural’nyye chisla – ensemble des nombres naturels)

El conjunto universo de los números reales - vitutor.net - taringa.net

On dit que ces entiers sont naturels car ce sont ceux que l’on utilise naturellement dans la vie de tous les jours . Il existe une infinité d’entiers naturels.

L’ensemble des entiers naturels appartient à l’ensemble des entiers relatifs : N ⊂ Z


Cf. les fiches-clées :

Chiffre – Chiffres de base – Décimale
Ensemble des nombres entiers relatifs (Z)Les ensembles (rubrique)
Nombre entier positif, entier naturel, entier relatif – Les nombres (rubrique)
Zéro

Sources :

Google FranceGoogle Traduction – Le Robert-Dixel MobileTaringa! – La taverne de l’Irlandais – Vitutor – WikipédiaWikiversité

Ensemble des nombres Réels

Ensemble des nombres dont le développement décimal est infini et non nécessairement périodique, qui regroupe tous les nombres rationnels (décimaux, entiers relatifs et naturels) et tous les nombres irrationnels, tel que Pi, et englobe ainsi tous les nombres qui peuvent se placer sur une droite graduée.

Symbole : ℝ
Appelé aussi : Corps des réels – Borne supérieure de Q (ensemble des nombres rationnels) – Super-ensemble (histoire) 
Anglais : Set of real numbers – Real number (nombre réel)
Espagnol : Reales – Número real (nombre réel)
Chinois : 实数集 (shíshù jí) 实数 (shíshù – réel)
Russe : Множество действительных чисел (mnozhestvo deystvitel’nykh chisel) Вещественное число (veshchestvennoye chislo – nombre réel)

Числовая прямая - Real number line - Phrood - Thenub314 - Wikimedia Commons

C’est un corps totalement ordonné, qui est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d’ordre . Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l’analyse réelle . C’est aussi le dernier corps archimédien (selon David Hilbert).

Un ensemble R est représenté par une droite graduée (droite numérique) . Tout point de cette droite a pour abscisse un nombre réel . Tout nombre réel est l’abcisse d’un point de cette droite.

Ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ( ⊂ : contenu dans)
Histoire :
 Divers problèmes géométriques ont amené à considérer de nouveaux nombres comme Racine carré de 2 (√2) . Le premier d’entre eux est la longueur de l’hypothénuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 . Le second est le périmètre d’un cercle de diamètre 1 . On démontra que ces deux nombres n’étaient pas des nombres rationnels . Par conséquent, on créa un super-ensemble contenant tous les nombres mesurables ainsi que leurs opposés : L’ensemble des nombres réels.


Cf. les fiches-clées :

Abscisse
Appartient à (∈) – N’appartient pas à (∉)
Borne – Propriété de la borne supérieure
Contenu dans ( ⊂ )
Corps (mathématique) – Corps archimédien – Corps totalement ordonné
Droite – Droite graduée, numérique

Les Ensembles (rubrique)
 – Ensemble de nombres – Ensemble des nombres décimaux, entiers, entiers naturels (N), entiers relatifs (Z), irrationnels (I)rationnels (Q)

Fraction – Intervalles réels
Nombres (rubrique) – Développement décimal d’un nombre – Développement décimal périodique d’un nombre – Le nombre e (constante) – Le nombre Pi (π) – Nombre irrationnel, rationnelréel , réel positif (nombre mesurable) – Les nombres entiers
Opération arithmétique – Point – Racine carré de 2 (√2) – Relation d’ordre
Valeur – Arrondi – Troncature – Valeur approchée, exacte

(Chercheurs) David Hilbert

Documentation (liens externes) :

Les nombres réels (R) – allô prof – L’Ensemble des nombres réels – jeando.voila.net (PDF)
(Cours) Ensemble des nombres réels et sous-ensembles – Wikiversité – Intervalles dans l’ensemble des nombres réels – Wikiversité

Sources :

维基百科Allô prof – ВикипедияGoogle FranceGoogle Traductionjeando.voila.net – Prood (Wikimedia Commons) – QwantLe Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – Thenub314 (Wikimedia Commons) – Wikimedia Commons – WikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWikiversité

Théorie des ensembles

(notions d’ensemble et d’appartenance) Collections de nombres (quantités) finis ou infinis d’objets (mathématiques) . Ces objets étant des nombres, des points de l’espace, des fonctions, etc.

Anglais : Set theory (is the branch of mathematical logic that studies sets, which are collections of objects)
Espagnol : Teoría de conjuntos (es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos)
Chinois : 集合论 (Jíhé lùn)
Russe : Теория множеств (Teoriya mnozhestv)

Qu'est la théorie des ensembles ? - Gaogoa .free.fr

Pour les ensembles finis, la notion de puissance est la même que celle du nombre d’éléments . Pour les ensembles infinis, l’idée de nombre disparaît et celle de puissance demeure (très profonde, elle présente les plus grandes difficultés pour l’établissement d’une axiomatique) . Deux ensembles de même puissance se distinguent l’un de l’autre par leurs propriétés caractéristiques (structures) . Deux ensembles ont même puissance s’ils peuvent être liés par une relation bijective (phénoménologie de l’analyse).

Classe : Méthode générale
Origine : Créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle
Type : Théorie fondamentale
Histoire : Phase nouvelle pour les mathématiques


Cf. les articles clés :

(une) Axiomatique – Méthode axiomatique

Ensemble – Intersection de deux ensembles – Puissance d’un ensemble
Ensemble des nombres complexes (C) (imaginaires), entiers naturels (N), entiers relatifs (Z), hypercomplexes (H), p. adiques (Qp), rationnels (Q) (fractionnaires), réels (R), des octavions (O)
Ensemble fini, infini, structuré – Les ensembles (rubrique)Les ensembles de nombres

Être mathématique
Nombre – Nombre cardinal, complexe, entier, entier de Eisenstein, entier de Gauss (complexe entier), entier naturel, entier relatif, fractionnaire, hypercomplexe (quaternion), imaginaire (i), irrationnel, ordinal, p. adique, rationnel, réel, surréel, transfini – Les nombres (rubrique)
Notion d’appartenance, d’ensemble, de structure
Octavion (octave, octonion de Cayley)
Espace mathématique – Point de l’espace
Fonction – Phénoménologie de l’analyse – Relation bijective
Structure d’ordre, d’un ensemble, mathématique, topologique
Les structure d’ensembles – Structures algébriques, d’ordre, topologiques

(Chercheurs mathématiciens) Georg Cantor – David Hilbert
(Glossaire) Méthode générale

(Osy) Psychanalyse

Documentation (liens externes) :

Page WikipédiaQu’est la théorie des ensembles ? – Gaogoa

Sources :

维基百科ВикипедияDictionnaire Espagnol-Français Larousse – Gaogoa – Google FranceGoogle TraductionQwant – WikipediaWikipedia (ES)Wikipédia