Espace métrique

Ensemble (espace abstrait, non vide, E), au sein duquel la notion de distance (application d) est définie entre les éléments composant cet ensemble (points) . Généralisation de la notion intuitive de distance dans le plan et l’espace euclidiens (produit scalaire) . Les propriétés topologiques d’un tel espace ne sont pas directement définies à partir d’un ensemble d’ouverts (topologique), mais à partir d’une application nommée distance (métrique), qui permet de donner un rôle plus important à l’intuition géométrique . L’espace métrique est un cas particulier d’espace topologique et historiquement la première structure topologique.

Symboles : M – (E, d) {E, est un ensemble et d, une distance sur E … l’ensemble E muni de sa métrique}
Appelé aussi :
Espace R
Anglais : Metric space
Espagnol : Espacio métrico
Chinois : 度量空间 (Dùliàng kōngjiān)
Russe : Метрическое пространство (Metricheskoye prostranstvo)

L’Espace et la Géométrie ! - Olivier Hartmanshenn – Blogs - L’OBS

On appelle espace métrisable un espace topologique homéomorphe à un espace métrique (correspondance).

Définition mathématique (3 axiomes ou propriétés) :
Soit E un ensemble (non vide) . Une application d : E x E → R+ est appelée distance sur E (ou métrique sur E) si les points (axiomes, propriétés) suivants sont vérifiés (pour tout x, y, z, de E) :
1) d(x,y) ≥ 0 {pour tout couple d’éléments (x,y) de E}
2) d(x,y) = 0 ⇔ x = y {relation équivalente à} {axiome de séparation}
3) d(x,y) = d(y,x) {pour tout couple d’éléments de E} {symétrie de d}
4) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) {∀ (x,y,z) ∈ E×E×E} {inégalité dite du triangle, ou triangulaire}

Domaines : Géométrie
Origine : Maurice Fréchet (normalien, mathématicien)
Histoire : L’espace métrique est historiquement la première structure topologique
Classe d’homéomorphie : Espace topologique (cas particulier)
Classe d’isométrie : Notion de distance entre deux points.
Exembles : Le plan non-euclidien, la sphère, etc.


Cf. les fiches-clées :

(Symboles mathématiques)(quel que soit) –  δ (delta) – ∈ (appartient à)
δ-hyperbolique – Application géométique
Axiome de séparation – Axiomes d’Euclide
Boule fermée, ouverte
Calcul différentiel
Classe d’homéomorphie, d’isométrie
Courbe – Courbe de Jordan – Courbure
d-uplet – Dimension euclidienne 
Distance (d)
 – Distance dans l’espace, le plan, R – Écart
Droite
Ensemble mathématique (E) – Ensemble convexe, dénombrable, non vide, ouvert, R+, vide – Éléments d’un ensemble – Sous-ensemble – La théorie des ensembles
Espace (géométrie), (mathématiques) – Espace abstrait, affine, courbe, euclidien (à trois dimensions), fermé, hyperbolique, métrique parfait, métrisable, ouvert, perçu, topologique, vectoriel – Propriétés topologiques d’un espace
Fonction continue – Généralisation (topologie) – Géodésique
Géométrie différentielle, euclidienne, euclidienne en dimension 3, hyperbolique (non-euclidienne, de Lobatchevsky), plane élémentaire, sphérique, sphérique-elliptique, usuelle – Les géométries de Thurston, multidimensionnelles
Homéomorphisme – Bijection – Déformation continue
Inégalité triangulaire, ultramétrique
Intuition géométrique – Isométrie
Métrique – Espace métrique géodésique – Métrique en dimension 2, euclidienne
Norme
Plan – Plan euclidien, non-euclidien
Point – Produit scalaire – R+ – Sphère – Surface
Topologie – Structure topologique – Topologie générale – Transformation topologique (homéomorphie)
Théorèmes (rubrique) – Théorèmes d’uniformisation
Uniformiser un cercle par une droite

(Chercheurs) Maurice Fréchet – Hadamard – Volterra

(Glossaire) Axiome – Classe – Propriété

(Osmos) Courbure de l’espace-temps – Espace (Univers)Espace-temps – Métrique de FLRW (Friedman-Lemaître-Robertson-Walker) – Univers plat

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia – Notion d’espace métrique – ChronoMath – Topologie générale : Espace métrique – Wikiversité
(PDF) Introduction aux espaces métriques – LMPT Université de Tours

Sources :

维基百科 – Academic – Bases de l’analyse mathématique (Licence L2 L3 – Prépas) – ВикипедияBlogs – L’OBS – C&MChronoMathGilles Dubois (professeur)Léonard Gallardo (LMPT Tours) – Google FranceGoogle TraductionOlivier Hartmanshenn (blog – L’OBS) – Histoire de la relativité du mouvement – images des Maths – L’île des mathématiquesLMPT Université de Tours – Le Petit Larousse – QwantLe Robert-Dixel MobileWikipediaWikipedia (ES) – Wikipédia – Wikiversité – Wiktionnaire

Publicités