Ensemble des nombres Réels

Ensemble des nombres dont le développement décimal est infini et non nécessairement périodique, qui regroupe tous les nombres rationnels (décimaux, entiers relatifs et naturels) et tous les nombres irrationnels, tel que Pi, et englobe ainsi tous les nombres qui peuvent se placer sur une droite graduée.

Symbole : ℝ
Appelé aussi : Corps des réels – Borne supérieure de Q (ensemble des nombres rationnels) – Super-ensemble (histoire) 
Anglais : Set of real numbers – Real number (nombre réel)
Espagnol : Reales – Número real (nombre réel)
Chinois : 实数集 (shíshù jí) 实数 (shíshù – réel)
Russe : Множество действительных чисел (mnozhestvo deystvitel’nykh chisel) Вещественное число (veshchestvennoye chislo – nombre réel)

Числовая прямая - Real number line - Phrood - Thenub314 - Wikimedia Commons

C’est un corps totalement ordonné, qui est muni des quatre opérations arithmétiques satisfaisant les mêmes règles que celles sur les fractions et ces opérations sont compatibles avec la relation d’ordre . Mais il satisfait en plus la propriété de la borne supérieure qui fonde l’analyse réelle . C’est aussi le dernier corps archimédien (selon David Hilbert).

Un ensemble R est représenté par une droite graduée (droite numérique) . Tout point de cette droite a pour abscisse un nombre réel . Tout nombre réel est l’abcisse d’un point de cette droite.

Ensembles : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R ( ⊂ : contenu dans)
Histoire :
 Divers problèmes géométriques ont amené à considérer de nouveaux nombres comme Racine carré de 2 (√2) . Le premier d’entre eux est la longueur de l’hypothénuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 . Le second est le périmètre d’un cercle de diamètre 1 . On démontra que ces deux nombres n’étaient pas des nombres rationnels . Par conséquent, on créa un super-ensemble contenant tous les nombres mesurables ainsi que leurs opposés : L’ensemble des nombres réels.


Cf. les fiches-clées :

Abscisse
Appartient à (∈) – N’appartient pas à (∉)
Borne – Propriété de la borne supérieure
Contenu dans ( ⊂ )
Corps (mathématique) – Corps archimédien – Corps totalement ordonné
Droite – Droite graduée, numérique

Les Ensembles (rubrique)
 – Ensemble de nombres – Ensemble des nombres décimaux, entiers, entiers naturels (N), entiers relatifs (Z), irrationnels (I)rationnels (Q)

Fraction – Intervalles réels
Nombres (rubrique) – Développement décimal d’un nombre – Développement décimal périodique d’un nombre – Le nombre e (constante) – Le nombre Pi (π) – Nombre irrationnel, rationnelréel , réel positif (nombre mesurable) – Les nombres entiers
Opération arithmétique – Point – Racine carré de 2 (√2) – Relation d’ordre
Valeur – Arrondi – Troncature – Valeur approchée, exacte

(Chercheurs) David Hilbert

Documentation (liens externes) :

Les nombres réels (R) – allô prof – L’Ensemble des nombres réels – jeando.voila.net (PDF)
(Cours) Ensemble des nombres réels et sous-ensembles – Wikiversité – Intervalles dans l’ensemble des nombres réels – Wikiversité

Sources :

维基百科Allô prof – ВикипедияGoogle FranceGoogle Traductionjeando.voila.net – Prood (Wikimedia Commons) – QwantLe Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – Thenub314 (Wikimedia Commons) – Wikimedia Commons – WikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWikiversité

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Nombre réel

Nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales . Il peut être soit un nombre rationnel, soit un nombre irrationnel (tel que Pi, Racine carré de 2 ou la constante e) . Tous les nombres rationnels et irrationnels sont regroupés dans l’Ensemble des nombres réels (R).

Appelé aussi : Un réel – Objet mathématique
Anglais : Real number
Espagnol : Número real
Chinois : 实数 (shíshù)
Russe : Вещественное число (veshchestvennoye chislo)

Nombres réels - La nature des nombres – lelivrescolaire.fr

Un réel positif est un nombre mesurable, en ce sens que l’on peut construire une ligne géométrique finie (un cercle, un segment, etc.) dont la longueur est ce nombre réel . Réciproquement, la longueur de n’importe quelle ligne géométrique finie (dont on peut mesurer la longueur) est un nombre réel positif.

Formalisation : Richard Dedekind, Georg Cantor et Charles Méray


Cf. les fiches-clées :

Les constantes réelles (rubrique) – La constante e (nombre de Euler ou constante de Néper)
Décimale – Espace topologique compact
Inégalité (<) – Inégalité large (≤) 
Les nombres (rubrique)
Ensemble des nombres réels – Nombre entier, irrationnel, Pi (π)rationnel, réel positif, transcendant
Objet mathématique – Racine carré de 2 (√2)
Valeur – Arrondi – Troncature – Valeur approchée, exacte

(Chercheurs) Georg Cantor – Eudoxe de Cnide (IVe s. AVJC) – Richard Dedekind – Leonhard Euler – Charles Méray – John Napier (Néper)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia – Construction des nombres réels – Wikipédia
(Cours) Nombre réel – Wikiversité

Sources :

维基百科ВикипедияGoogle FranceGoogle Traductionlelivrescolaire.fr – QwantLe Robert-Dixel MobileLa taverne de l’Irlandais – WikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWikiversité – Wiktionnaire