Élément (mathématiques)

Un des objets qui constituent un ensemble . Du latin elementum.

Symbole : ∈ (est élément de)
Appelé aussi : Élément mathématique – (attention à ne pas confondre avec : Les éléments de mathématiques) – Appartenance
Anglais : Element (mathematics)
Espagnol : Elemento de un conjunto (élément d’un ensemble)
Chinois : 元素 (數學) {yuánsù shùxué – élément mathématiques}
Russe : Множество (mnozhestvo – appartenance)

Est un élément de symbole mathématique Icon gratuit - fr.freepik.com

Domaines : Géométrie, logarithmes, mathématiques


Cf. les fiches-clées :

Appartenance – Classe – Ensemble – (Inventaire)

Élément (glossaire scientifique) – Éléments (inventaire) – Éléments d’Euclide (traité)

Géométrie – (Rubrique) – Traitement axiomatique, systématique de la géométrie
Logarithme – (Rubrique)
Mathématique – Mathématiques – (Rubrique)
Objet mathématique – (Inventaire) – Relation entre deux objets mathématiques

(Chercheurs) Nicolas Bourbaki (1940)Euclide (300 AVJC)
(Linguistique)
 Élément formant – (Inventaire)

(Osmos) Élément (physique) – Élément (matière) – Élément (chimie) 

Documentation (liens externes) :

Appartenance (mathématiques) – Wikipédia

(Ouvrages) Éléments d’Euclide – Traité mathématique et géométrique – Wikipédia – Éléments de mathématique – Traité de mathématiques du groupe Nicolas Bourbaki – Wikipédia

Sources :

维基百科 – Википедия – Encyclopædia Universalis – Éduscol – freepik – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia

Trajectoire d’un point

Ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps (dans un référentiel).

Anglais : Trajectory of a point
Espagnol : Trayectoria de un punto
Chinois : 点的轨迹 (diǎn de guǐjī)
Russe : Траектория точки (trayektoriya tochki)

Trajectoire parabolique d’un projectile - Equation de la trajectoire - M11 : Chute libre - Physagreg.fr

Le formalisme des arcs paramétrés introduit la description de cette trajectoire et la façon dont elle est parcourue (paramétrage).

Des différences fondamentales sont révélées (mathématiquement) entre les trajectoires possibles d’une masse ponctuelle sur différentes surfaces (le long d’une ligne, sur une surface, un plan, une sphère, un tore, dans un volume au carré).


Cf. les fiches-clées :

Arc – Arc paramétré
Différence fondamentale – Ensemble (mathématique) – Formalisme (mathématique) – Ligne – Marche aléatoire – Masse ponctuelle
Paramétrage – Plan
Point – Position d’un point
Référentiel (mathématique) – Sphère
Surface – Surface en deux dimensions
Tore
(trajectoire) Description d’une trajectoire – Parcourt d’une trajectoire
Volume – Volume au carré

(Osmos) Masse – Référentiel – Temps – Trajectoire – Trajectoire d’une particule

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources :

Google FranceGoogle TraductionPhysagreg.fr – QwantLe Robert-Dixel Mobile – Wikipédia

Tenseur

Objet (issus de l’algèbre multilinéaire) permettant de généraliser les scalaires et les vecteurs en dimension finie (les scalaires et les vecteurs constituant des formes simples de tenseurs) – Élément dont la valeur s’exprime dans un espace vectoriel (algèbre tensorielle) . Du latin tensum, supin, de tendere (tendre).

Anglais : Tensor
Espagnol : Cálculo tensorial
Chinois : 张量 (zhāng liàng – mathématiques) – 張量 (zhāng liàng – sens large) 
Russe : Тензор (tenzor) 

Un tensor de segundo orden, en tres dimensiones - Sanpaz - Wikimedia Commons

Un tenseur possède une addition et un produit par les scalaires ; il est indépendant d’un choix de base mais peut être représenté par un tableau à plusieurs entrées pour un choix de base donnée . Les coordonnées de cet objet abstrait changent lorsqu’on passe d’une représentation dans une base donnée à celle dans une autre base . Un produit tensoriel permet de multiplier deux tenseurs (qui peuvent être de nature distincts) . Une contraction (application linéaire) permet de réduire la taille d’un tenseur.

Le terme tenseur est souvent utilisé par extension, pour désigner un champ de tenseurs, une application qui associe à chaque point d’un espace géométrique un tenseur différent.

En géométrie différentielle, une métrique riemannienne, parfois appelée tenseur métrique, est un tenseur de rang 2 utilisé pour la mesure des distances et des angles.

Usage : utilisé pour représenter des objets algébriques complexes (sans les concepts de distance, ni d’angles, sans produit scalaire ; les coordonnées co-variantes représentant des objets de type application linéaire et les coordonnées contravariantes représentant des objets de type multi-vecteurs), dans une base orthonormée (le produit scalaire étante défini par un tenseur métrique permettant de convertir les coordonnées covariantes et contravariantes, vice versa), espaces courbes de Riemann (le tenseur métrique est ici un champ de tenseurs appelé métrique riemannienne qui dépend de la position), espaces de la relativité générale, applications multilinéaires ou des multivecteurs
Domaines : Algèbre (multilinéaire, tensorielle), analyse vectorielle, espace vectoriel de dimension finie, géométrie différentielle, physique


Cf. les fiches-clées :

Algèbre multilinéaire, tensorielle – Angle
Application (mathématique) – Application linéaire, multilinéaire
Base (mathématique) – Base orthonormée
Coordonnée – Coordonnées co-variantes (covariantes), contravariantes
Distance – Endomorphisme
Espace courbe de Riemann, dual, géométrique, vectoriel, vectoriel de dimension finie
Exposant – Élément (mathématique)
Forme bilinéaire – Géométrie différentielle
Indice colonne, contravariant, covariant, inférieur, ligne, supérieur
Matrice – Matrice carrée, n × n – matrice cubique (n×n×n)
Module – Métrique riemannienne
n-indices – n-uplet
Objet (mathématique) – Objet abstrait, de type application linéaire, de type multi-vecteurs
Orthonormé – Position
Scalaire – Produit scalaire

(tenseur) Champ de tenseurs – coordonnées d’un tenseur – Généralisation des tenseurs en dimension infinie, pour des modules – Tenseur antisymétrique, d’Einstein, d’ordre 0 (nombre), d’ordre 1 (vecteur), d’ordre 2 (non trivial), d’ordre 3 (matrice cubique), de Bel-Robinson, de Cotton-York, de Killing, de Killing-Yano, de Levi-Civita, de rang 2, de Ricci, de Riemann, de Weyl, des contraintes, des déformations, électromagnétique, énergie-impulsion, métrique, symétrique
(tensoriel) Calcul tensoriel – Champ tensoriel – Contraction tensorielle – Produit tensoriel

Vecteur – Addition vectorielle – Analyse vectorielle – Bivecteur – Multivecteur

(osmos – Physique) Corp étendu – Mécanique des fluides, des milieux continus, du solide, rationnelle – Position – Relativité générale – Tenseur – Tenseur des contraintes, des déformations

Documentation (liens externes) :

Tenseur (objet très général) – Page WikipédiaTenseur (mathématique) – Page Wikipédia

Sources :

维基百科 – Википедия – Google TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileSanpaz (Wikimedia Commons) – Wikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)Wikipédia – Wiktionnaire

Produit scalaire

Comme il n’est pas possible de multiplier deux vecteurs, on en fait le produit scalaire . Son résultat est un nombre réel.

Symbole : ⋅ (dot) – × (dans le cas de grandeurs scalaires, avec l’angle)
Appelé aussi : Produit scalaire de deux vecteurs (entre deux vecteurs)
Anglais : Dot product
Espagnol : Producto escalar
Chinois : 数量积 (shùliàng jī) 数 (nombre) 量 (quantité) 积 (produit)
Russe : Скалярное произведение (skalyarnoye proizvedeniye)

Produit scalaire - Espace euclidien de dimension trois - Larousse.fr

Si les vecteurs sont orthogonaux, le produit scalaire est nul {propriété sur l’orthogonalité}.

Formule : u⋅v {on dit : u scalaire v ou bien, produit scalaire de u par v ; le résultat n’est pas un vecteur, mais un nombre réel}


Cf. les fiches-clées :

Angle – Angle droit, orienté – Cos d’un angle
Cercle – Équation de cercle
Coordonnées – Formule d’Al Kashi (Théorème de Pythagore généralisé) – Identité remarquable – Inégalité triangulaire
Nombre – Nombre réel
Norme (longueur du vecteur) – Multiplication des normes ( ||u||×||v|| )
Orthogonalité (⊥) – Repère orthonormé

Scalaire
– Carré scalaire (u2) – Grandeur scalaire (avec des unités) – Multiplication d’une matrice par un scalaire – Produit scalaire avec l’angle, avec le parallélogramme, avec le projeté (orthogonal), avec le triangle, avec les coordonnées (dans un repère orthonormé), dans le plan, l’espace

Vecteur – Vecteur normal à une droite, à un plan – Vecteurs colinéaires, orthogonaux

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia 
(cours – Vidéos)
 Définition et théorèmes – 3 manières d’exprimer un produit scalaire et cas particuliers – Kiffelesmaths.com – Youtube – Le produit scalaire, 4 cas – Les Bons Profs – Youtube – Propriétés algébriques du produit scalaire – Kiffelesmaths.com – Youtube – Produit scalaire, son Carré scalaire, sa norme et la distance – Educastream.com

Sources :

维基百科 – Википедия – Les Bons Profs (Youtube) – educastream.com – Google FranceGoogle TraductionKiffelesmaths.com (Youtube) – Grande Encyclopédie Larousse.fr – QwantLe Robert-Dixel Mobile – WikipediaWikipedia (ES)Wikipédia – YouTube

Scalaire

Élément, de l’anneau de base d’un module ou du corps de base d’un espace vectoriel (souvent un nombre réel ou complexe) . Un nombre scalaire est un nombre (réel ou complexe, … sans unité) accompagnant une mesure . De l’anglais scalar dérivant du mot scale (rang des nombres), du latin scalaris (degrés).

Symboles : Un scalaire est représenté soit par une lettre grecque, soit par une lettre en italique
Appelé aussi : Vrai scalaire
Anglais : Scalar
Espagnol : Escalar
Chinois : 标量 (biāoliàng – quantité scalaire)
Russe : Скаляр (skalyar)

Calcul vectoriel - Vecteur - Repères de l’espace - Cours Math 1ère S - Educastream.com

Un nombre qui mesure une température, une masse ou encore une hauteur est un scalaire . Un scalaire est un tenseur d’ordre 0 . Les quantités non scalaires sont dites pseudoscalaire.

(espace vectoriel) Dans un K-espace vectoriel (espace vectoriel appartenant à un ensemble K), les scalaires sont les éléments de K (ensemble d’éléments déterminés, nombres et corps), où K peut être l’ensemble des nombres complexes, ou n’importe quel autre corps.

(multiplication par un scalaire, algèbre linéaire, espace vectoriel) Sont appelés scalaires, les nombres réels qui multiplient les vecteurs dans un espace vectoriel {loi externe de l’espace vectoriel : multiplication par un scalaire, permettant de multiplier un vecteur par un nombre pour produire un autre vecteur}.

(produit scalaire, espace vectoriel) Deux vecteurs peuvent être multipliés entre eux pour donner un scalaire grâce au produit scalaire qui peut être défini sur un espace vectoriel . Un espace vectoriel de dimension finie et muni d’un produit scalaire est appelé espace vectoriel euclidien . Un nombre issu d’une opération entre vecteurs peut être un pseudo ou un vrai scalaire selon que les vecteurs opérandes sont des pseudovecteurs ou des vecteurs vrais.

Un scalaire, associé à une direction et un sens, définie la vitesse ou l’accélération d’un objet ponctuel sous la forme d’un vecteur .

Une grandeur scalaire est un scalaire auquel est associée une unité . Par exemples la valeur d’une vitesse ou d’une accélération.

La partie scalaire d’un quaternion est sa composante réelle.

La matrice scalaire désigne une matrice sous la forme λI où lambda est un scalaire est grand i la matrice identité.

Domaines : Algèbre linéaire
Origine : Publication de 1846 de Sir W. R. Hamilton (pour le mot scalar).


Cf. les fiches-clées :

λ (lambda) – λI (matrice scalaire)
Anneau (mathématique)
Base (d’expression des vecteurs) – Base directe, indirecte, orthonormée
Corps (mathématique) – Déterminant – Direction
Ensemble de nombres – Ensemble des nombres complexes – Ensemble K – Les ensembles de nombres
Espace vectoriel – Corps de base d’un espace vectoriel – Espace vectoriel de dimension finie, euclidien – K-espace vectoriel – Loi externe de l’espace vectoriel
Élément (mathématique)
Matrice – Matrice identité (I)
Module – Anneau de base d’un module
Nombre réel – Nombre complexe – Les nombres
Quaternion – Composante réelle d’un quaternion

(scalaire) Grandeur scalaire (nombre + unité) – Matrice scalaire (λI) – Multiplication scalaire – Multiplication par un scalaire – Nombre scalaire (nombre accompagnant une mesure) – Partie scalaire – Produit scalaire – Produit d’un vecteur par un scalaire – Produit scalaire dans l’espace, dans le plan – Pseudo-scalaire (pseudoscalaire) – Scalaire dans un espace vectoriel, dans un espace vectoriel normé, dans un module, d’un vecteur – Vitesse scalaire – Vrai scalaire

Sens – Tenseur
Vecteur – Calcul vectoriel – Coordonnée d’un vecteur dans une base (nombre réel sans unité) – Homothétie vectorielle – Module d’un vecteur – Permutation de vecteurs de base – Produit mixte de trois vecteurs – Pseudovecteur – Vecteur opérande, vrai

(Chercheurs) Sir William Rowan Hamilton (mathématicien irlandais)

Vecteur – Multiplication de deux vecteurs – Multiplier un vecteur par un nombre

(osmos – Physique) Scalaire
(oseco – Géographie) Démarche multiscalaire
(ose – Informatique) Architecture parallélisée – Chaîne de caractères – Entier – Langage de programmation – Nombre flottant – Pipeline – Processeur scalaire, superscalaire, vectoriel – Structure de données – Table associative – Tableau – Valeur – Valeur atomique, composite, scalaire – Variable scalaire

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources :

维基百科Википедия – educastream.com – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel Mobile – WikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWiktionnaire

Droite numérique

Ligne droite infinie, image (représentation géométrique) de l’ensemble R (des nombres réels) ; chaque point sur la droite (géométrie) correspondant à un élément x de R (de cet ensemble de nombres réels).

Symboles : D(x, y)
Anglais : Number line
Espagnol : Recta numérica
Chinois : 数线 (shù xiàn)
Russe :

Droite numérique - La tête dans les maths

La distance entre deux points x et y de cette droite est définie comme la valeur absolue |x − y| (différence des deux réels dont ces points sont l’image) ; cette distance satisfait aux quatre axiomes de la règle D(x, y) . La droite numérique, comme l’ensemble R dont elle est l’image, est un espace métrique . Dans cet espace, une boule de centre x et de rayon ε est figurée par un segment de centre x et de longueur 2ε.

Graduation : La graduation de la droite est toujours constante et peut se faire par bonds . Elle débute à 0 si la droite représente l’ensemble des nombres naturels (droite numérique dans N), elle débute dans les nombres négatifs et inclut aussi les nombres positifs si la droite représente l’ensemble des nombres entiers relatifs (droite numérique dans Z), elle débute dans les nombres négatifs et inclut les nombres positifs, les fractions et les nombres décimaux si la droite représente l’ensemble des nombres rationnels (droite numérique dans Q).

Domaines : Algèbre, géométrie, modélisation


Cf. les fiches-clées :

 

|x − y| – ε (epsilon)
Algèbre (rubrique) – Axiome – Bond numérique – Boule – Centre
Distance – Distance entre deux points d’une droite numérique
Droite – Droite numérique dans N, dans Z, dans Q, ouverte, ouverte double – Utilisation (croissante, décroissante, ordonnée) de la droite numérique
Ensemble des entiers relatifs, naturels, rationnelsréelsLes ensembles de nombres
Espace métrique
Fraction – Fraction décimale
Géométrie (rubrique)
Ligne – Ligne droite infinie
Modélisation
NombreNombre décimalentier relatif, naturel, négatif, positif, rationnelréel – Les nombres
Numérique – Numéro
Proportionnalité – Rayon
Règle D(x, y) – Axiomes de la règle D(x, y)
Segment – Segment de droite, d’une droite numérique
Valeur absolue – x (nombre quelconque)

(Ose) numérique

Documentation (liens externes) :

(PDF) Trois types de droites numériques – atelier.on.ca
(exercices – Primaire) Fraction et droite numérique – L’instit.com

Sources :

维基百科维基词典BestDict-ChineseBestDict-FrenchBestDict-RussianBestDict-SpanishВикипедияВикисловарьatelier.on.ca – emaths – Google FranceGoogle TraductionL’instit.com – QwantLe Robert-Dixel MobileLa Tête dans les maths – Wikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWikiversitéWiktionaryWiktionnaire

Ensemble

Collection d’objets (mathématiques ; éléments), la réunion de ces éléments en un tout (régit par des axiomes, des propriétés) . Du latin insimul (en même temps), de in- et simul (à la fois).

Abréviation / Symbole : M
Anglais : Set (mathematics)
Espagnol : Conjunto
Chinois : 集合 (数学) {jíhé (shùxué) – ensemble (mathématiques)}
Russe : Множество (mnozhestvo – beaucoup)

Venn diagram - Cepheus - Wikimedia Commons

Un élément (m) d’un ensemble (M) est dit appartenir (∈) à cet ensemble (théorie des ensembles, approche axiomatique) . Un ensemble désignant un objet du domaine de la théorie des ensembles, dont les axiomes régissent les propriétés . Tout objet mathématique étant un ensemble . La notion d’ensemble est une notion de base qui intervient dans quasiment tous les domaines mathématiques.

Origine : Formulé par le mathématicien Georg Cantor 
Histoire :
La théorie des ensembles est la fondation des mathématiques.


Cf. les fiches-clées :

(appartenir à)
Appartenance (notion)
Axiome (mathématique) – Approche axiomatique 
Ensembles (rubrique)
– Les ensembles de nombres – Théorie des ensembles – Théorie naïve des ensembles
Élément (mathématique) – Élément d’un ensemble
Fondements des mathématiques – Objet (mathématique) – Propriété (mathématique)

(Chercheurs) Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (mathématicien) – Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (mathématicien allemand)

Documentation (liens externes) :

Page Wikipédia

Sources :

维基百科 – Википедия – Cepheus (Wikimedia Commons) – Google FranceGoogle TraductionQwantLe Robert-Dixel MobileWikimedia CommonsWikipediaWikipedia (ES)WikipédiaWiktionnaire